Коректно: за участь у конкурсі, присвяченому Року літератури. На заході, присвяченому заводу ювілею чи присвяченому ювілею заводу? Правильно: на заході, (якому?) присвяченому ювілею.

Як правильно пишеться посвяченого чи посвяченого?

Морфологічні та синтаксичні властивості

відмінокод. год.
чоловік. нар.
Т.присвяченим
П.присвяченому
Короткий. формаприсвячений

Як пишеться республіканський конкурс?

Написання з великої літери є коректним, якщо Республіканський – перше слово офіційної назви конкурсу.